La congettura di Halpern-Weaver sulle strisce di Möbius è stata finalmente dimostrata da Richard Evan Schwartz, aprendo nuove prospettive nella comprensione di queste forme geometriche uniche.
Le strisce di Möbius sono forme geometriche divertenti che hanno solo un lato. Prendendo una striscia di carta e torcendola, si possono unire i due bordi corti in modo che non ci sia più un fronte o un retro. È possibile disegnare una linea su tutta la sua superficie senza sollevare la matita dalla carta. Quarantasei anni fa, i matematici hanno suggerito la dimensione minima per una tale striscia, ma non sono riusciti a dimostrarlo. Ora, finalmente, qualcuno ci è riuscito.
La creazione delle strisce di Möbius da parte di August Ferdinand Möbius e Johann Benedict Listing ha portato alla scoperta della loro semplicità nella realizzazione e nella visualizzazione, ma anche alla complessità matematica di questa forma. Nel 1977, Charles Sidney Weaver e Benjamin Rigler Halpern hanno formulato la congettura di Halpern-Weaver, che stabiliva il rapporto minimo tra la larghezza della striscia e la sua lunghezza. Hanno suggerito che per una striscia con una larghezza di 1 centimetro, la lunghezza doveva essere almeno la radice quadrata di 3 centimetri (circa 1,73 centimetri).
Per le strisce di Möbius lisce che non si intersecano tra loro, la congettura non aveva soluzione. Nel 2020, il matematico della Brown University Richard Evan Schwartz ha proposto che se la striscia può attraversare se stessa, il problema sarebbe molto più facile da risolvere, ma ha commesso un errore. In un articolo pubblicato come preprint, Schwartz ha corretto l’errore e ha trovato la soluzione corretta per la congettura.
La soluzione deriva da un lemma nel suo articolo precedente, che afferma che sulla superficie delle strisce di Möbius esistono linee rette che passano per ogni punto e terminano ai bordi. Schwartz ha dimostrato che esistono anche linee perpendicolari a queste linee rette nello stesso piano.
Successivamente, ha tagliato le strisce di Möbius per capire che tipo di forme si stavano formando. L’idea era semplificare il problema appiattendo la striscia su un piano. Inizialmente, Schwartz pensava che una striscia tagliata assomigliasse a un parallelogramma, ma si è rivelata essere un trapezio. Il calcolo corretto ha confermato la congettura.
Schwartz è rimasto sbalordito dalla scoperta e ha dedicato giorni interi a scrivere il suo lavoro. Il preprint è stato pubblicato su ArXiv. [Fonte: Scientific American]
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