Un gruppo di fisici ha dimostrato che l’organizzazione a grappolo delle palline è più efficiente dell’organizzazione lineare, confermando una congettura di Fejes Tóth del 1975.
Grandi notizie, tutti: la catastrofe delle salsicce è stata riprodotta con piccole palline.
Guarda. È un fatto poco conosciuto in matematica, ma più difficile è dimostrare un teorema, più ridicolo deve essere il suo nome. Prendi, ad esempio, il fatto che non esiste un campo vettoriale tangente continuo non nullo sulle sfere n-dimensionali pari – o per usare il suo nome comune, il teorema della palla pelosa. Oppure, hey, hai bisogno di un algoritmo per determinare se un insieme di sezioni fornisce una base per il gruppo abeliano di Mordell-Weil di una data superficie ellittica? Perché non provare la macchina Cox-Zucker! E non iniziamo nemmeno con tutti i teoremi e i concetti chiamati Tits.
Ti diciamo questo solo per chiarire che, nonostante sembri il tipo di strano gruppo punk che i tuoi genitori ascoltavano nel 1976, l’imballaggio di sfere e la catastrofe delle salsicce sono effettivamente importanti nel mondo della matematica – e un recente articolo che conferma un risultato a lungo sospettato sul problema è veramente impressionante e importante.
Infatti, “la teoria degli imballaggi infiniti di corpi convessi, in particolare, gli imballaggi reticolari di sfere, è un argomento fondamentale e classico in matematica”, hanno scritto i matematici Martin Henk e Jörg Wills, che non sono stati coinvolti in questo nuovo risultato, tornato nel 2020.
“[Essa] gioca un ruolo in varie branche della matematica come la teoria dei numeri, la teoria dei gruppi, la geometria dei numeri, l’algebra e ha numerose applicazioni nella teoria del codice, la crittografia, la cristallografia e altro ancora”, hanno notato.
Quindi, qual è esattamente questo problema che ha una così ampia applicabilità? Beh, in una parola: palline.
Più specificamente, è questo: qual è il modo più efficiente per imballare palline? Sembra una domanda facile – i pirati lo facevano – ma tutti i più difficili lo fanno – ma ha sfuggito a una risposta definitiva per secoli. Anche le soluzioni che abbiamo sembrano stranamente complicate: ad esempio, sappiamo conosciuto dal 2005, e siamo abbastanza sicuri dal abbastanza sicuro dal 1611, che il modo migliore in tre dimensioni è usare il metodo della “palla di cannone” – sì, come se ne avessi un numero infinito. Cosa che, ammettiamolo, nemmeno i più salati dei marinai non avevano.
Sfortunatamente, è il tipo di assurdità con cui ti trovi quando lasci che i matematici affrontino un problema semplice – ed è per questo che questo nuovo risultato è stato ottenuto da un gruppo di fisici, invece.
“In realtà, tuttavia, tutti gli imballaggi sono intrinsecamente finiti, il che significa che la loro estensione è limitata nello spazio”, scrivono i ricercatori (classico punto di partenza non matematico lì). “Ciò solleva la questione di quale sia il modo più efficiente per imballare sfere di dimensioni uguali in un contenitore con una forma predefinita o all’interno di un contenitore flessibile come il guscio convesso più piccolo che racchiude le sfere.”
E a differenza dei cluster di palle di Keplero, la risposta è totalmente controintuitiva: è una salsiccia. Almeno, all’inizio.
“Uno dei miei studenti ha osservato un imballaggio lineare, ma era abbastanza confuso”, ha detto Hanumantha Rao Vutukuri, professore associato di fisica sperimentale all’Università di Twente, a New Scientist. Il suo team non stava nemmeno pensando a questo enigma kepleriano in quel momento; stavano sperimentando mettendo particelle nanoscale sferiche all’interno di contenitori microscopici chiamati vescicole.
“Pensavamo che fosse un caso fortuito, quindi l’ha ripetuto un paio di volte e ogni volta ha osservato risultati simili”, ha detto Vutukuri. “Mi chiedevo, ‘perché succede questo?'”
Ora, era inaspettato? Sì. Ma era completamente imprevedibile? No – ed infatti, era stato previsto dal matematico Fejes Tóth fin dal lontano 1975. Dimostrarlo, però, è stata un’altra storia – e il team si è scontrato con alcune sfide molto presto nei loro esperimenti.
“Le vescicole continuavano a rompersi con più di nove particelle”, ha detto Marjolein Dijkstra, professore di materia condensata morbida all’Università di Utrecht, in una affermazione. “Questo ci ha impedito di testare come cambierebbe l’impilamento delle particelle se ne aggiungessimo più di nove.”
Fortunatamente, abbiamo qualcosa che Kepler non aveva mai avuto: i computer. Di fronte a queste vescicole scoppiate, i ricercatori si sono invece rivolti a simulazioni al computer del problema, investigando il modo più efficiente per imballare ora fino a 150 palline.
E meno male che sono arrivati così in alto. Se si fossero fermati a 55, avrebbero ottenuto solo metà di una risposta – perché a 56, è successa qualcosa di catastrofico.
Letteralmente. Si chiama “catastrofe delle salsicce”. È quando “si verifica una transizione improvvisa nella densità di imballaggio da un’organizzazione lineare a un’organizzazione a grappolo, in cui le coordinate delle particelle si estendono in tutte e tre le dimensioni”, spiega l’articolo – in altre parole, all’improvviso diventa più efficiente fare un ammasso di palline, come ha fatto Kepler, che una linea.
Questo, in definitiva, è il motivo per cui dovremmo preoccuparci di questo strano problema. Non solo perché è divertente e fornisce una chiusura agli amici pirati di Kepler, ma perché dimostra che gli esperimenti possono davvero avere un posto importante nella matematica.
“La nostra indagine sistematica di questi cluster con varie forme ci ha permesso di dimostrare direttamente, con un approccio pratico ispirato alla fisica dei colloidi, l’esistenza di cluster precedentemente non identificati che mostrano un’efficienza di imballaggio superiore alla configurazione a salsiccia”, scrive il team. “Tuttavia, resta da determinare se si possono sviluppare dimostrazioni matematiche per l’imballaggio di questi cluster e per l’intera congettura di Fejes Tóth.”
“L’imballaggio di sfere finite è ancora un problema aperto e affascinante”, concludono. “Crediamo che il nostro lavoro possa servire da catalizzatore per ulteriori ricerche in questa direzione.”
L’articolo è pubblicato sulla rivista Nature Communications.
